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(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3.【例1】2022年4月13日，神舟十三号飞船在历经了183天的太空航行之后，成功返回地球，创下了中国载人航天空间站任务飞行时间最长、任务项目最多的纪录。神舟十三号此行的主要任务之一是进入太空并与天宫空间站进行对接，飞船的运动可简化为如图所示的情境，圆形轨道2为天宫空间站运行轨道，椭圆轨道1为载人飞船运行轨道，两轨道相切于P点，Q点在地面附近，是轨道1的近地点，则下列判断正确的是（ ）图片
A．载人飞船可在到达轨道2后不断加速追上空间站实现对接B．载人飞船在轨道1上P点的加速度等于空间站在轨道2上P点的加速度C．载人飞船在轨道1上经过Q点时的速度等于7.9km/sD．载人飞船从Q点向P点运动过程中，万有引力不做功【答案】B【解析】A．若载人飞船在到达轨道2后不断加速，则会做离心运动，从而远离轨道2，不会追上空间站从而不能实现对接，选项A错误；B．根据图片
P点的加速度等于空间站在轨道2上P点的加速度，选项B正确；C．载人飞船从近地圆轨道的Q点加速才能进入轨道1的椭圆轨道，则在轨道1上经过Q点时的速度大于7.9km/s，选项C错误；D．载人飞船从Q点向P点运动过程中，万有引力对飞船做负功，选项D错误。故选B。【例2】如图所示，利用霍曼转移轨道可以将航天器从地球发送到火星。若地球和火星绕太阳公转的轨道都是圆形，则霍曼轨道就是一个近日点P和远日点Q都与这两个行星轨道相切的椭圆。当“天问一号”火星探测器到达地球轨道的P点时，瞬时点火后“天问一号”进入霍曼轨道，当“天问一号”运动到火星轨道的Q点时，再次瞬时点火后“天问一号”进入火星轨道。下列说法正确的是（ ）图片
A．“天问一号”在地球轨道上的线速度小于在火星轨道上的线速度B．在P点瞬时点火后，“天问一号”的速度需要达到第二宇宙速度C．在Q点再次瞬时点火，是为了增大太阳对“天问一号”的引力D．“天问一号”沿霍曼轨道运行时在P点的动能最小【答案】B【解析】A．设太阳质量为M，质量为m的卫星绕太阳做半径为r、线速度大小为v的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有图片
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P点瞬时点火后，“天问一号”需要克服地球引力离开地球，进入霍曼转移轨道绕太阳做椭圆运动，所以此时“天问一号”的速度需要达到第二宇宙速度，故B正确；C．在Q点再次瞬时点火，“天问一号”所受引力不变，速度增大，从而使其所受引力不足以提供向心力而做离心运动，进而变至较高的火星轨道，故C错误；D．根据开普勒第二定律可知“天问一号”沿霍曼轨道运行时在P点的速度最大，动能最大，故D错误。故选B。 二、星球稳定自转的临界问题当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是
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.【例3】2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3【答案】C三、双星或多星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．图片
(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2.②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.图片
2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)常见的三星模型①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．图片
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(3)常见的四星模型①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．【例4】如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知万有引力常量为G，则（ ）
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A．恒星A、B运动的周期为T B．恒星A质量小于B的质量 C．恒星A、B的总质量为图片
D．恒星A线速度大于B的线速度【答案】C【解析】A．每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为
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【例5】2021年5月，基于“中国天眼”球面射电望远镜图片
的观测，首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。如图，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点图片
做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA<RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，万有引力常量为图片
，以下说法正确的是（ ）图片
A．若知道卫星C的轨道半径，则可求出卫星C的质量B．恒星A的质量大于恒星B的质量C．恒星A的质量为图片
D．A、B、C三星由图示位置到再次共线所需时间为图片
【答案】B【解析】A．在B，C的系统中，对于C万有引力提供向心力可得
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C的质量，A错误；B．A、B双星系统，A、B间引力提供A、B作圆周运动向心力，故A、B的向心力相等，且周期相等，所以有图片
A<RB，所以图片
，B正确；C．A、B双星系统，所以，对于B星，万有引力提供向心力图片
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，即图片
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